Resumo do livro Zero by Charles Seife

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1. Descubra a história de um número herético.

Zero é um tipo curioso de número. Não é muito parecido com 4, 32 ou 83.

Quando você adiciona zero a outros números, nada acontece. Quando você multiplica outros números por zero, sempre obtém zero de volta. E quando você divide por zero, o inferno se instala.

É um número tão estranho, de fato, que no mundo antigo muitos grandes matemáticos negaram sua existência completamente. E, nos tempos modernos, até mesmo o filósofo René Descartes afirmou que não era real.

Mas desde sua eventual aceitação, ele foi encontrado no coração de praticamente todos os avanços em matemática ou física. Como assim? Você está prestes a descobrir.

Nesse resumo você aprenderá:

• Por que os babilônios inventaram o zero;
• Por que Aristóteles o proibiu; e
• Por que o infinito é gêmeo do zero.

2. O zero não existia nos primórdios da matemática; ele surgiu pela primeira vez na antiga Babilônia.

Você consegue imaginar um mundo com números zero?

Na Idade da Pedra, era assim que as coisas eram — até que alguns homens das cavernas empreendedores começaram a esculpir entalhes em um osso de lobo.

O que eles estavam contando? Não sabemos. Mas deve ter sido algo prático, como animais ou pontas de lança. Como a matemática pré-histórica era estritamente funcional, não havia necessidade do conceito de zero. Eles não precisavam de uma palavra especial para veados "zero"; simplesmente... não havia nenhum veado.

Mas, com o tempo, a matemática avançou e as pessoas desenvolveram sistemas complexos de contagem. E os antigos babilônios finalmente perceberam que algo — ou melhor, nada — estava faltando.

Esta é a mensagem principal: o zero não existia nos primórdios da matemática; ele surgiu pela primeira vez na antiga Babilônia.

Para entender por que o zero apareceu pela primeira vez, você precisará saber como o antigo sistema de contagem babilônico funcionava. Então, aqui está uma rápida análise.

Você provavelmente sabe que nosso sistema de contagem moderno é decimal, ou na base 10: nós agrupamos as coisas em 1s, 10s e 100s. Mas na antiga Babilônia, o sistema era sexagesimal – era na base 60. E veja só: ele tinha apenas dois símbolos.

Esses dois símbolos representavam “1” e “10”. Os babilônios apenas repetiam esses símbolos quantas vezes precisassem – bem como no sistema romano posterior e mais conhecido. Cinquenta, por exemplo, seria cinco vezes o símbolo “10”; cinquenta e um seria o mesmo mais um símbolo “1” – e assim por diante, até chegar a 60.

Aqui está a parte confusa: em 60, eles apenas começavam novamente com o símbolo “1”. Sessenta e 1 eram representados pelo mesmo símbolo. E assim era 60 vezes 60, ou 3.600.

Se você está pensando que isso parece ambíguo, você está certo. Mas era especialmente ambíguo quando se tratava de números como 61 e 3.601. Ambos eram representados simplesmente por dois símbolos "1", lado a lado. Então, como você poderia dizer a diferença entre eles?

Eventualmente, os babilônios encontraram uma solução: zero. Para escrever 3.601, eles escreveram um símbolo totalmente novo entre os dois símbolos "1"; isso deixou claro que o primeiro número não era 60, mas um grau acima. Este foi o nascimento do zero.

Mas este ainda não era bem o nosso zero moderno. Na verdade, era apenas um espaço reservado denotando uma ausência. Foi só mais tarde que as estranhas e místicas propriedades do zero se tornariam totalmente aparentes - para o espanto e horror dos gregos antigos.

3. Os gregos antigos com mentalidade filosófica rejeitavam o zero apesar de sua utilidade.

Para muitas civilizações antigas, os números eram meramente ferramentas para contar e dividir terras. Para os gregos antigos, no entanto, os números eram uma filosofia completa. Matemáticos-filósofos como Pitágoras viam uma harmonia de números dentro de cada forma.

Mas os gregos antigos não estavam a bordo com o zero — de forma alguma. Na verdade, Aristóteles declarou que ele simplesmente não existia; era meramente um produto da imaginação do homem. E suas opiniões sobre esse assunto, como sobre tantas outras coisas, ressoaram ao longo dos séculos — em detrimento da matemática no mundo ocidental.

A mensagem-chave aqui é: os gregos antigos com mentalidade filosófica rejeitavam o zero apesar de sua utilidade.

A sabedoria convencional na Grécia antiga era que o zero não existia. Mas um filósofo, Zenão, criou um paradoxo que questionava essa crença aceita.

Imagine o grande atleta Aquiles correndo contra uma tartaruga. A tartaruga tem uma vantagem de um pé. Aquiles pode ultrapassar a tartaruga e vencer?

Bem, Aquiles compensa a vantagem de um pé da tartaruga em, digamos, um segundo. Mas, a essa altura, a tartaruga já se moveu um pouco mais. OK, então Aquiles chega ao novo ponto da tartaruga em uma fração de segundo — mas a tartaruga, é claro, já avançou novamente. E assim por diante, e assim por diante, ad infinitum.

Toda vez que Aquiles alcança onde a tartaruga estava, ela já avançou. A lacuna entre eles fica cada vez menor... mas Aquiles nunca consegue chegar lá. Certo?

Todos nós sabemos que, na realidade, Aquiles simplesmente ultrapassaria a tartaruga. Isso porque a lacuna entre Aquiles e a tartaruga tem um limite: zero. Claro, são necessários um número infinito de estágios cada vez menores para fechar a lacuna, mas isso eventualmente acontece.

Mas o sistema matemático grego não conseguiu explicar o paradoxo de Zenão — porque baniu o zero.

De acordo com Aristóteles, o zero e o infinito simplesmente não existiam; tudo era finito. O universo tinha uma esfera externa e então parou abruptamente. O tempo também era finito; em algum ponto do passado distante, ele tinha apenas começado. Essa era a base do sistema de crenças deles.

Mas o que aconteceu antes do tempo começar? A resposta é nada — zero — ou não havia um ponto de partida — infinito. Não faz sentido negar a existência do zero e do infinito. No entanto, foi isso que aconteceu na Grécia antiga e durante a Idade Média no Ocidente, por causa da enorme influência de Aristóteles.

Mais a leste, no entanto, Aristóteles não foi tão influente.

4. Os antigos matemáticos indianos e árabes abraçaram o zero e fizeram grandes avanços matemáticos.

Na Índia antiga, não havia nada a temer sobre o infinito ou o zero. Embora Aristóteles rejeitasse esses conceitos completamente, eles eram uma parte fundamental do sistema de crenças indiano. Os antigos indianos acreditavam que o universo foi criado a partir de um vazio de nada, e que era infinito – mas que, como o mundo veio do nada, um dia retornaria ao nada.

Os antigos matemáticos indianos perceberam que o zero merecia um lugar entre os números. E essa percepção abriu todos os tipos de portas.

Aqui está a mensagem principal: os antigos matemáticos indianos e árabes abraçaram o zero e fizeram grandes avanços matemáticos.

Outra diferença vital entre a Grécia antiga e a Índia dizia respeito à geometria. Para os gregos, a geometria estava no cerne da matemática; os números representavam essencialmente proporções e formas. Mas na Índia, os matemáticos pensavam em números em termos abstratos.

Aqui está um exemplo da diferença que isso faz. Quanto é 2 menos 3?

Para alguém na Grécia antiga, essa pergunta nem faz sentido. Se você tem um campo com dois acres de largura, não pode subtrair três acres dele. Mas se os números não representam nada em particular, você pode simplesmente resolver a equação. E, claro, você obtém -1.

Junto com os números negativos, os antigos indianos ficaram felizes em incluir o zero em seu sistema numérico; ele se encaixava perfeitamente entre os positivos e os negativos. Mas eles ainda achavam meio estranho.

Multiplique qualquer coisa por zero e você obtém zero novamente. Quanto à divisão, bem, isso é caos. Quantos 0s existem em 1? O matemático indiano do século XII Bhaskara percebeu que a resposta era infinito. Aliás, o infinito também tinha propriedades estranhas; você podia adicionar ou subtrair qualquer número, e ele permanecia exatamente o mesmo.

Quando esses avanços matemáticos alcançaram pensadores muçulmanos, judeus e cristãos, foi um grande negócio — e não apenas por causa das propriedades estranhas do zero e do infinito. As três religiões foram fortemente influenciadas por Aristóteles, então esses novos conceitos desafiavam sua visão de mundo. Eventualmente, porém, todos os três os adotaram.

Os cristãos foram os últimos a aceitar o zero – e, no final, foi a pressão comercial que os fez adotá-lo. Os comerciantes italianos perceberam que nosso sistema moderno de contagem com dez dígitos, conhecido como sistema arábico, era muito mais simples de usar do que o sistema romano que a igreja ainda exigia. Mas, naquela época, esse sistema arábico incluía um dígito para zero.

Então, na Idade Média, o zero se infiltrou no sistema ocidental de números. Mas ainda era tratado com suspeita – até mesmo por algumas das maiores mentes matemáticas.

5. Abraçar o zero no Ocidente foi teologicamente complicado, mas produziu uma revolução matemática: o cálculo.

René Descartes nasceu em 1596. Como tantos grandes pensadores antes dele, incluindo Pitágoras, ele era matemático e filósofo. Mas mesmo ele não abraçou totalmente o zero.

Descartes empresta seu nome ao sistema de coordenadas cartesiano – os eixos x e y que aprendemos no ensino médio. Esses dois eixos têm um zero no canto inferior esquerdo por necessidade. Se você começasse com 1, logo acabaria com erros.

Este novo e poderoso sistema de coordenadas inaugurou um universo totalmente novo de avanços matemáticos. No entanto, Descartes sempre insistiria que o zero em si não existia de fato. Tendo sido criado nos ensinamentos de Aristóteles, o zero era um passo longe demais para ele.

Os matemáticos posteriores, no entanto, eram menos melindrosos – com resultados espetaculares.

Esta é a mensagem principal: abraçar o zero no Ocidente foi teologicamente complicado, mas produziu uma revolução matemática: cálculo.

Você provavelmente se lembra de um pouco de cálculo da escola, mas pode não perceber o quão intimamente ligado ele está ao zero e ao infinito. Então, vamos rever alguns fundamentos.

Digamos que você desenhe uma curva em uma grade cartesiana. Como você calcula a área abaixo dela?

Você pode começar desenhando um retângulo sob a curva — um que cubra o máximo possível da área. Esse é um bom ponto de partida, mas não é muito preciso.

Para chegar mais perto, desenhe dois retângulos menores; dessa forma, você pode cobrir uma quantidade maior da área. Três retângulos o deixam ainda mais perto — e assim por diante. Mas para obter a área real sob a curva, você precisa de retângulos infinitos, cada um com uma área infinitamente pequena — ou seja, uma área de zero.

Isso pode parecer absurdo, mas o mais estranho é que funciona. Os matemáticos Isaac Newton e Gottfried Leibniz perceberam isso quase simultaneamente e desenvolveram sistemas de cálculo. Isso permitiu que eles calculassem a área matematicamente, mesmo que envolvesse alguma matemática bizarra em torno de zero e infinito.

As pessoas acharam isso teoricamente preocupante. O bispo irlandês George Berkeley observou que, diferentemente de outros ramos da matemática, que haviam sido totalmente provados, o cálculo era baseado na fé — ninguém realmente entendia o que estava acontecendo com todos aqueles zeros.

O matemático que resolveu esse problema foi Jean Le Rond d'Alembert. Assim como no paradoxo de Zenão, d'Alembert explicou a resposta usando limites. Uma sequência pode se estender em direção ao infinito — mas ainda pode se aproximar de um limite finito.

6. Os matemáticos logo descobriram que zero e seu oposto, infinito, tinham uma relação complexa, mas fascinante.

As equações quadráticas são um pilar das aulas de matemática do ensino médio. Mas isso não significa que sejam diretas. Longe disso.

Pegue uma aparentemente simples, por exemplo: x2 + 1 = 0. O que é x?

Como você deve se lembrar, as equações quadráticas geralmente têm duas soluções, uma positiva e uma negativa. E as duas respostas para essa equação parecem um pouco peculiares: a raiz quadrada de -1 e a raiz quadrada negativa de -1.

Esses números não existem, então os matemáticos dizem que são imaginários. Como tal, eles os chamam de i e -i.

O que isso tem a ver com zero? Nada — e tudo.

A mensagem principal aqui é: os matemáticos logo descobriram que zero e seu oposto, infinito, tinham uma relação complexa, mas fascinante.

Uma vez que você permite a existência de números imaginários, você pode combiná-los e obter números como i + 2, ou 2i - 4. Para visualizar números como esses — conhecidos como números complexos — é útil mapeá-los em uma grade cartesiana, com o eixo x para a parte real do número (digamos, -4) e o eixo y para a parte imaginária (digamos, 2i).

Mas essa grade não funciona como uma grade normal. Digamos que você plota o ponto i um quadrado para cima no eixo y, e em zero no eixo x. O que acontece quando você eleva esse número ao quadrado? i2, por definição, é -1. Então, de fato, esse ponto gira 90 graus para a esquerda. O mesmo é verdade para qualquer número complexo: multiplicá-lo por si mesmo faz com que ele gire em torno da grade.

Se permanecermos em uma grade bidimensional, as coisas se tornam bem complicadas neste ponto — então o matemático Bernhard Riemann percebeu que fazia mais sentido visualizar as coisas em uma esfera. Imagine uma esfera com i em um ponto e -i diretamente em frente a ela. Perpendiculares a esses dois pontos estão 1 e -1. E o que vai nos pontos superior e inferior da esfera? Zero e infinito.

A estranha lógica da matemática com números complexos revela que zero e infinito são polos iguais e opostos, assim como 1 e -1.

A esfera de Riemann torna algumas equações problemáticas anteriores mais fáceis de entender. Tome y = 1/x, por exemplo. Em duas dimensões, parece confuso: a curva dispara para fora da imagem em direção ao infinito conforme x se aproxima de zero. Mas na esfera, faz todo o sentido: a curva simplesmente atinge o ponto mais alto.

Isso tudo pode soar um pouco teórico. Mas se você está se perguntando o que tudo isso tem a ver com o mundo real, fique ligado - porque zero e infinito são pilares não apenas da matemática, mas da física também!

7. Zero e infinito não são apenas conceitos matemáticos – eles também são abundantes na física.

Acabamos de falar sobre números imaginários – mas zero e infinito são tão reais que se fazem sentir no mundo real de todas as maneiras importantes. Na verdade, eles sustentam muitos dos avanços feitos na física nos últimos cem anos.

Um exemplo remonta a antes disso. Na década de 1850, o físico Lord Kelvin descobriu que era literalmente impossível resfriar um objeto abaixo de -273 graus Celsius. Em outras palavras, ele descobriu o zero absoluto.

A mensagem principal aqui? Zero e infinito não são apenas conceitos matemáticos – eles também são abundantes na física.

Na verdade, é impossível atingir a temperatura do zero absoluto, porque o zero absoluto é o estado que um gás atinge quando não tem energia alguma. Isso é inatingível; sempre há partículas ao redor liberando energia e aquecendo as coisas novamente. Mas o zero absoluto realmente existe, como um limite, no mundo natural.

Outro zero na física foi descoberto pelo trabalho de Albert Einstein: o buraco negro. As teorias de Einstein ajudaram a explicar um fenômeno curioso e preocupante que acontece no espaço profundo. Quando uma estrela massiva morre, sua atração gravitacional é tão forte que ela colapsa sobre si mesma, ficando cada vez menor, até que eventualmente ocupa espaço zero. Mas, apesar de ocupar espaço zero, ela ainda tem massa. E essa combinação incongruente causa uma curva no próprio espaço-tempo, sugando qualquer coisa que se aproxime dela.

Outros avanços na física têm relações diferentes com o zero completamente. A teoria das cordas, por exemplo, toma a curiosa atitude de mais ou menos proibi-la — mas não exatamente da mesma forma que Aristóteles todos aqueles milênios atrás.

De acordo com a teoria das cordas, o universo existe em dez ou possivelmente onze dimensões, então o que parece zero para nós pode não ser realmente zero quando todas as outras dimensões são fatoradas. Essa teoria ajuda a explicar certas características enigmáticas sobre o universo — mas alguns argumentam que isso é mais uma filosofia do que uma ciência verdadeira porque não é demonstrável por meio de experimentação.

Por outro lado, zero e filosofia sempre andaram de mãos dadas. Desde o início dos tempos — o próprio big bang, outro zero, é claro — até o eventual fim do universo, o zero sempre exerceu um poder misterioso e vazio.

Nada pode ser criado do nada, disse uma vez o poeta e filósofo Lucrécio. Mas esse nada tem propriedades estranhas e místicas. E ainda as estamos descobrindo hoje.

8. Resumo final

A mensagem-chave nesse resumo é que:

O zero não existia nos primeiros dias da matemática – e na Babilônia, onde foi inventado pela primeira vez, era apenas um substituto. Apesar da proeza dos gregos antigos em matemática, o zero foi banido por Aristóteles. Isso significa que não foi totalmente apreciado no mundo ocidental por muitos séculos. Em lugares como a Índia, no entanto, foi adotado – e a matemática progrediu imensamente. Desde então, o zero ganhou seu lugar de direito no sistema de números, junto com seu gêmeo, o infinito. E provou ser um componente vital, mas misterioso, de cada novo conceito em matemática ou física, do cálculo à relatividade.